圓周率
[拼音]：yuanzhoul╇
[外文]：ratio of the circumference of a circle to the diameter
歐幾里得平面上圓周與直徑的長度之比。它是人類認識到的第一個特殊常數，是人類在測量圓周長和圓面積的各種情況中逐步認識的。古希臘歐幾里得的《幾何原本》中已提到圓周率是常數。中國古代早有“徑一周三”的記載，即認為圓周率是常數了。自1737年L.歐拉用 表示圓周率后， 就成為一個通用符號。此后也通用由圓半徑r和圓周率 求圓周長的公式:C=2 r。關于圓面積與圓周率的關系人類也很早就知道了。中國古代數學專著《九章算術》第一章《方田》中求圓田面積，“術曰:半圓半徑相乘得積步”。即以半圓周 r和半徑r為長和寬的矩形面積就是所求的圓面積S，這正是圓面積公式S= r2。
圓周率的古典方法和古代值
數學史上曾采用過圓周率 的各種近似值，現(xiàn)存于世的有關圓周率的最早文字記載是公元前1650年左右在古埃及產生的萊因德紙草書， 其中取。這看來是一個經驗值。古希臘阿基米德約在公元前 240年從計算圓內接和外切正多邊形周長來確定圓周率的上下界。這是第一個計算 值的方法，后人稱為古典方法。阿基米德從正 6邊形開始，逐步計算到正96邊形周長而得到。他取兩位小數確定 =3.14。約公元150年，C.托勒密在《數學匯編》中給出。這是從該書中記載的圓心角所對弦的長度推算出來的。印度數學家阿耶波多第一約在530年采用 ＝3.1416，這可能是從希臘傳入的，也可能是他計算了正384邊形的周長。1150年前后，婆什迦羅第二給出 的常用值，“非準確值”，“準確值”，他還給出與托勒密相同的另一個 的值。阿拉伯的卡西約在1427年在他的《圓周論》中計算正 3×228邊形周長得出精確到17位數字的 =3.1415926535898732。
中國古代《九章算術》正文用“徑一周三”的古率。西漢末劉歆為王莽造銅斛(公元9年)采用 ＝3.1547。東漢張衡(78～139)采用計算球體積。三國吳人王蕃（215～257)采用。這些都是經驗值。魏人劉徽在注《九章算術》時提出與阿基米德古典方法相類的“割圓術”。他從圓內接正6邊形周長是直徑的3倍開始，依次割圓，成倍增長內接正多邊形的邊數。求得內接正2n邊形邊長l與圓半徑r及內接正n邊形邊長ln的關系：
他還得出圓面積S和圓內接正n邊形面積Sn，正2n邊形面積S2n滿足下列不等式：
。
由此得到圓周率的上下界。他取半徑為1尺，由圓內接正6邊形面積開始，逐步算得正96邊形和正192邊形面積為
。
因此，取n=96，有
。
劉徽“棄其余分”，取 ＝3.14。他還說:“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”這說明他已知求更精確的 值的方法，并具有極限的思想。劉徽之后尚有皮延宗在445年前后取 ＝22/7。南北朝時的祖沖之提出圓周率精確到 8位數字的上下界：3.141592617邊形求π值到10位數字(1579)。荷蘭L.范.科倫在1596年求到小數點后20位，才超過卡西。
圓周率是無理數和超越數
J.H.朗伯在1767年證明圓周率 是無理數，即不能表示成有理分數，因而不會是有限小數或循環(huán)小數。F.von林德曼在1882年證明 是超越數，即不是任何一元有理系數多項式的根。從而解決了古代三大幾何難題之一──化圓為方不可能用尺規(guī)作(云南的簡稱：云南的簡稱為滇。云南位于中國的西南地區(qū)，省會城市是昆明，東部和貴州、廣西為鄰。)圖作出。
圓周率和角的弧度制
歐拉在1748年出版的《無窮小分析引論》中提出三角函數是對應的函數線與圓半徑的比。他同時引入角的弧度制，即取圓半徑作為單位，圓心角用其所對的弧長表示。這時平角所對的半圓周長是 。從此以后圓周率 就作為相當于180°的角度值。
圓周率的其他方法和近代值
韋達在1593年把表示成無窮乘積
英國J.沃利斯在1655年給出
，
1658年由W.布龍克把它變成連分數
，
朗伯特就是利用它證明 是無理數的。蘇格蘭J.格雷果里在1671年得出無窮級數
G.W.萊布尼茨在1673年由此得出收斂極慢的級數
J.梅欽利用格雷果里級數的公式
計算 值到100位小數（1706）。W.香克斯在1873年利用梅欽公式計算 值到707位小數，以后長期保持這個記錄。但在1946年D.F.弗格森發(fā)現(xiàn)香克斯的第 528位錯了。他后來和美國J.W.小雷恩在1948年聯(lián)合發(fā)表 808位準確的 值。
電子計算機發(fā)明以后， 值的計算得到飛速的發(fā)展。在1949年計算到2037位，1959年計算到16167位，1967年計算到50萬位，1974年計算到100萬位，1981年計算到200萬位，1983年計算到223（800多萬）位。
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